Matemática Financeira

13 01 2008

Do que trata a matemática financeira?

Neste post serei breve e apenas mostrarei alguns conceitos que a matemática financeira usa.

Introdução:

A matemática financeira é um ramo da Matemática que se preocupa em estudar os cálculos matemáticos relacionados a operações de investimento e financiamento realizados por agentes atuantes no mercado financeiro. Independentemente do tipo de operação, sempre há um empréstimo de recursos, ou seja, de dinheiro envolvido. Sendo assim, o conceito-chave da matemática financeira é taxa de juros.

Já que matemática financeira trata especificamente de taxa de juros, cito as três denominações de taxa de juros que podemos encontrar em diferentes situações no mercado financeiro. São elas:

Taxas:

Taxa de juros nominal, taxa de juros efetiva e taxa de juros real.

Explicando cada uma:

Taxa de juros nominal:

Taxa de juros Nominal é aquela que é expressa em uma unidade de tempo diferente daquela em que os juros são capitalizados, ou seja, a taxa é expressa em uma unidade de tempo e a forma de acumulação dos juros (seja em regime simples ou composto) é feita em outra unidade de tempo. Por exemplo: um financiamento em que a taxa nominal é expressa em bases anuais, mas a capitalização é feita em bases mensais.

Taxa de juros efetiva:

Taxa de juros Efetiva é aquela que é expressa na mesma unidade de tempo em que os juros são capitalizados.

Taxa de juros real:

Uma taxa de juros Real é aquela que, independentemente de ser nominal ou efetiva, o investidor recebe descontada a variação da inflação ou de qualquer indicador desejado, nominal ou efetiva, respectivamente.

Ainda podemos saber em que consiste uma taxa de juros Simples, uma taxa de juros Composta e uma taxa de juros Continua.

Juros:

Taxa de juros Simples:

Sob um regime de taxa de juros simples, o juro recebido/pago sobre determinado montante de dinheiro aplicado/investido/emprestado é linearmente proporcional ao prazo em que os juros são referenciados nominalmente, ou seja, é proporcional à taxa de juros nominal de aplicação.

Em termos genéricos, podemos mostrar que:

taxa de juros simples

em que:
VF é o Valor Futuro do investimento
P é o principal investido
r é a taxa de juros nominal (% ao período, seja este período qualquer um – 1 dia, 1 mês, 1 ano etc.)
t é o número de períodos em que a taxa de juros é referenciada

Taxa de juros Composta:

Sob um regime de taxa de juros composta, o juro recebido/pago sobre determinado montante de dinheiro aplicado/investido/emprestado é geometricamente proporcional ao prazo em que os juros são referenciados nominalmente, ou seja, a cada período de capitalização os juros incedem não só sobre o principal, mas também sobre os juros já acumulados até então.

Matematicamente,

taxa de juros composta

Taxa de juros Contínua (ou continuamente composta):

Sob um regime de capitalização contínua, o juro recebido/pago sobre determinado montante de dinheiro aplicado/investido/emprestado é tratado da mesma forma que em um regime de juros compostos, com a única deferença residindo na freqüência de capitalização, que é feista continuamente, ou seja, a cada instante, sendo o “instante” definido como a menor medida possível de tempo.

Matematicamente,

taxa de juros cont�nua

Repare que a taxa de juros neste caso é r*, diferente da taxa de juros composta r.

Diferença:

Agora vou mostrar a diferença entre as taxas de juros no regime composto e contínuo.

Na verdade, quando se fala em regime composto, estamos dizendo que os juros são capitalizados em períodos discretos, por exemplo, 1 dia, 1 mês ou 1 ano e, no caso do regime contínuo, os juros são capitalizados de forma composta também, porém em período contínuo.
Assim, se r é uma taxa de juros composta e r* uma taxa de juros contínua:

taxa - diferença entre r e r*

Como para conseguirmos calcular as taxas equivalentes nos dois regimes o Valor Futuro (VF) tem de ser igual nos dois casos, x tem que ser igual a y.

Sendo assim,

taxa - x = y


Agora apresentarei o conceito de Valor Presente para depois apresentar no que consiste o Valor Futuro (VF).

Valores:

Valor Presente:

O chamado valor presente de um fluxo de caixa é o somatório dos valores presentes dos fluxos individuais – positivos e negativos, ou seja, é o valor de cada fluxo de caixa descontado ao momento presente pela taxa de juros prevalecente durante o período remanescente.

E Valor Futuro:

Analogamente, o valor futuro de um fluxo de caixa é o somatório do “carregamento” de cada fluxo, seja negativo ou positivo, até o pagamento final pela taxa de juros prevalecente durante o período remanescente. Em outras palavras, para encontrar o valor futuro de um fluxo de caixa, deve-se tomar cada recebimento e pagamento e calcular o valor futuro desses fluxos individuais, até o vencimento da operação, utilizando uma taxa de juros predefinida.

Conclusão:

Para quem quizer outros tipos de cálculos sobre matemática financeira entre aqui.

Bom espero que tenham gostado e que esses conceitos e fórmulas possam ajudar você a ser mais rico. :)

Durante o 3° semestre irei aprender mais sobre matemática financeira e poderei me aprofundar muito mais no assunto, mas por enquanto é isso, até o próximo post sobre “Modelos Organizacionais e Inovação Tecnológica”.

UltraG








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